Ang Brachistochrone Curve: 18 Hakbang (na may Mga Larawan)

2024 May -akda: John Day | [email protected]. Huling binago: 2024-01-30 13:12

Ang kurba ng brachistochrone ay isang klasikong problema sa pisika, na kumukuha ng pinakamabilis na landas sa pagitan ng dalawang puntos na A at B na nasa magkakaibang mga pagtaas. Kahit na ang problemang ito ay maaaring mukhang simple nag-aalok ito ng isang counter-intuitive na resulta at sa gayon ay kamangha-manghang panoorin. Sa mga itinuturo na ito, malalaman ang tungkol sa problemang panteorya, bubuo ng solusyon at sa wakas ay bumuo ng isang modelo na nagpapakita ng mga katangian ng kamangha-manghang prinsipyong ito ng pisika.

Ang proyektong ito ay dinisenyo para sa mga mag-aaral ng high school na gawin habang sumasaklaw sila ng mga nauugnay na konsepto sa mga klase sa teorya. Ang hands-on na proyekto na ito ay hindi lamang nagpapalakas ng kanilang pag-unawa sa paksa ngunit nag-aalok din ng isang pagbubuo ng maraming iba pang mga patlang upang paunlarin. Halimbawa habang binubuo ang modelo, matututunan ng mga mag-aaral ang tungkol sa optika sa pamamagitan ng batas ni Snell, computer program, 3d modeling, digital frabrication at pangunahing mga kasanayan sa paggawa ng kahoy. Pinapayagan nito ang isang buong klase na mag-ambag ng paghahati ng gawain sa kanilang sarili, na ginagawa itong isang pagsisikap sa koponan. Ang oras na kinakailangan upang gawin ang proyektong ito ay halos isang linggo at maaaring maipakita sa klase o sa mga mas batang mag-aaral.

Walang mas mahusay na paraan upang matuto kaysa sa pamamagitan ng STEM, kaya't sundin upang makagawa ng iyong sariling modelo ng nagtatrabaho na brachistochrone. Kung nais mo ang proyekto ay iboto ito sa paligsahan sa silid-aralan.

Hakbang 1: Suliraning Teoretikal

Ang problema sa brachistochrone ay isang umiikot sa paghahanap ng isang curve na sumali sa dalawang puntos na A at B na nasa magkakaibang taas, tulad ng B ay hindi direkta sa ibaba ng A, upang ang pag-drop ng isang marmol sa ilalim ng impluwensya ng isang pare-parehong gravitational na patlang sa landas na ito ay maabot ang B sa pinakamabilis na oras na posible. Ang problema ay ipinahayag ni Johann Bernoulli noong 1696.

Nang tanungin ni Johann Bernoulli ang problema ng brachistochrone, noong Hunyo 1696, sa mga mambabasa ng Acta Eruditorum, na isa sa mga unang journal na pang-agham ng mga lupain na nagsasalita ng Aleman ng Europa, nakatanggap siya ng mga sagot mula sa 5 dalub-agbilang: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus at Guillaume de l'Hô ospital bawat isa ay may natatanging mga diskarte!

Alerto: ang mga sumusunod na hakbang ay naglalaman ng sagot at isiwalat ang kagandahan sa likod ng pinakamabilis na landas na ito. Maglaan ng ilang sandali upang subukan at pag-isipan ang problemang ito, baka maaari mo itong i-crack tulad ng isa sa limang henyo na ito.

Hakbang 2: Paggamit ng Batas ng Snell upang Maipakita

Ang isa sa mga diskarte para sa paglutas ng problema sa brachistochrone ay upang harapin ang problema sa pamamagitan ng pagguhit ng mga pagkakatulad sa Batas ni Snell. Ginagamit ang Batas ng Snell upang ilarawan ang landas na susundan ng isang sinag ng ilaw upang makarating mula sa isang punto patungo sa isa pa habang lumilipat sa dalawang magkakaibang media, gamit ang prinsipyo ng Fermat, na nagsasabing ang isang sinag ng ilaw ay palaging dadalhin ang pinakamabilis na ruta. Ang isang pormal na derivation ng equation na ito ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng pagbisita sa sumusunod na link.

Dahil ang isang libreng-bumabagsak na bagay sa ilalim ng impluwensya ng gravitational field ay maaaring ihambing sa isang sinag ng ilaw na paglipat sa pamamagitan ng pagbabago ng media, sa tuwing nakakasalubong ang sinag ng ilaw ng isang bagong daluyan, ang sinag ay bahagyang lumihis. Ang anggulo ng paglihis na ito ay maaaring kalkulahin gamit ang batas ni Snell. Tulad ng patuloy na pagdaragdag ng mga layer ng pagbawas ng mga density sa harap ng lumihis na sinag ng ilaw, hanggang sa maabot ng sinag ang kritikal na anggulo, kung saan masasalamin lamang ang sinag, inilalarawan ng tilapon ng sinag ang kurba ng brachistochrone. (ang pulang kurba sa diagram sa itaas)

Ang brachistochrone curve ay sa katunayan isang cycloid na kung saan ay ang curve na na-trace ng isang punto sa gilid ng isang pabilog na gulong habang ang gulong ay gumulong kasama ang isang tuwid na linya nang hindi nadulas. Kaya kung kailangan nating iguhit ang kurba ay maaaring gamitin ng isa ang pamamaraan sa itaas upang mabuo ito. Ang isa pang natatanging pag-aari ng curve ay ang isang bola na inilabas mula sa anumang punto ng curve na kukuha ng eksaktong parehong oras upang maabot ang ilalim. Ang mga sumusunod na hakbang ay naglalarawan sa proseso ng paggawa ng isang eksperimento sa silid-aralan sa pamamagitan ng pagbuo ng isang modelo.

Hakbang 3: Modelo ng Praktikal na Eksperimento

Ang modelo ay binubuo ng mga lasercut path na kumikilos bilang mga track para sa mga marmol. Upang maipakita na ang brachistochrone curve ay ang pinakamabilis na landas mula sa punto A hanggang B napagpasyahan naming ihambing ito sa dalawang iba pang mga landas. Tulad ng ilang mga tao ay intuitively pakiramdam na ang pinakamaikling bahagi ay ang pinakamabilis na nagpasya kaming maglagay ng isang tuwid na slope na kumokonekta sa parehong mga punto bilang ang pangalawang landas. Ang pangatlo ay isang matarik na curve, tulad ng mararamdaman ng isa na ang biglaang pagbagsak ay makakabuo ng sapat na bilis upang matalo ang natitira.

Ang pangalawang eksperimento kung saan ang mga bola ay inilabas mula sa iba't ibang taas sa tatlong mga landas ng brachistochrone, na nagreresulta sa mga bola na umaabot nang sabay. Sa gayon ang aming modelo ay nagtatampok ng mga naka-print na gabay na 3d na nagbibigay ng madaling pagbabago sa pagitan ng mga acrylic panel na hinahayaan ang pag-uugali ng parehong mga eksperimento.

Sa wakas ang mekanismo ng paglabas ay tinitiyak na ang mga bola ay nahulog nang magkasama at ang module ng tiyempo sa ibabang tala ay nagtatala ng mga oras habang ang mga bola ay umabot sa ilalim. Upang makamit ito naka-embed kami ng tatlong mga switch ng limitasyon na naaktibo kapag na-trigger ito ng mga bola.

Tandaan: Maaaring kopyahin ng isa ang disenyo na ito at gawin ito sa karton o iba pang mga materyal na madaling magagamit

Hakbang 4: Kailangan ng Mga Materyales

Narito ang mga bahagi at supply upang makagawa ng isang gumaganang modelo ng eksperimento sa brachistochrone

HARDWARE:

1 "Pine Wood Plank - sukat; 100cm ng 10cm

Neodymium Magnetx 4 - sukat; 1cm dia at taas na 0.5cm

3D Printing Filament- Mabuti ang PLA o ABS

M3 Threaded Insert x 8 - (opsyonal)

M3 Bolt x 8 - 2.5cm ang haba

Wood Screw x 3 - 6cm ang haba

Wood Screwx 12 - 2.5cm ang haba

Elektroniko:

Arduino Uno

Limitahan ang Switchx 4- ang mga switch na ito ay kikilos bilang system ng tiyempo

Push Button

LCD Display

Jumpwire x marami

Ang kabuuang halaga ng modelo ay umabot sa humigit-kumulang 3 0 $

Hakbang 5: Pag-print sa 3D

Maraming mga bahagi tulad ng mekanismo ng paglabas at ang control box ay ginawa sa tulong ng isang 3d printer. Ang sumusunod na listahan ay naglalaman ng kabuuang bilang ng mga bahagi at ang kanilang mga pagtutukoy sa pag-print. Ang lahat ng mga file ng STL ay ibinibigay sa isang folder na nakakabit sa itaas, pinapayagan ang isa na gawin ang kanilang kinakailangang mga pagbabago kung kinakailangan.

Control Box x 1, 20% infill

Patnubay x 6, 30% infill

End Stop x 1, 20% infill

Pivot Arm x 1, 20% infill

Pivot Mount x 1, 30% infill

Palabasin ang Piece x 1, 20% infill

Ang mga bahagi ay nakalimbag sa PLA dahil walang partikular na stress na kumikilos sa mga piraso. Sa kabuuan tumagal ito ng halos 40 oras ng pag-print.

Hakbang 6: Pagputol ng Laser sa Mga Landas

Ang iba't ibang mga landas na dinisenyo namin sa fusion 360 ay na-export bilang.dxf file at pagkatapos ay laser-cut. Pinili namin ang opaque white acrylic na may kapal na 3mm upang gawin ang mga curve. Maaari rin itong gawin mula sa kahoy na may mga tool sa kamay ngunit mahalaga na matiyak na ang materyal na napili ay mahigpit dahil ang kakayahang umangkop ay maaaring makaapekto sa kung paano gumulong ang mga bola.

6 x Brachistochrone Curve

2 x Matarik na Curve

2 x Straight Curve

Hakbang 7: Pagputol ng Kahoy

Ang frame ng modelo ay gawa sa kahoy. Pinili namin ang 1 "by 4" pine dahil mayroon kaming natitira mula sa isang nakaraang proyekto, kahit na ang isang ay maaaring gumamit ng isang kahoy na kanilang pinili. Gamit ang isang pabilog na lagari at isang gabay ay pinutol namin ang dalawang piraso ng kahoy na haba:

48cm na ang haba ng daanan

31cm na ang taas

Nilinis namin ang magaspang na mga gilid sa pamamagitan ng gaanong pag-sanding nito sa disc sander.

Hakbang 8: Pagbabarena ng mga Butas

Bago i-screwing ang dalawang piraso, markahan ang kapal ng kahoy sa isang dulo ng ilalim na piraso at isentro ang tatlong mga butas na pantay. Gumamit kami ng isang 5mm na bit upang lumikha ng isang butas ng piloto sa parehong mga piraso ng kahoy at countersunk ang butas sa ilalim na piraso upang payagan ang ulo ng tornilyo na itulak sa flush.

Tandaan: Mag-ingat na huwag hatiin ang patayong piraso ng kahoy dahil ang isa ay magiging pagbabarena sa dulo ng butil. Gumamit din ng mahabang mga turnilyo ng kahoy dahil mahalaga na hindi mag-iling ang frame at ang tuktok dahil sa leverage.

Hakbang 9: I-embed ang mga Heat-sink at ang Magneto

Tulad ng mga thread sa 3d na naka-print na mga bahagi ay may posibilidad na magsuot sa paglipas ng panahon nagpasya kaming mag-embed ng mga heat-sink. Ang mga butas ay bahagyang nakakaliit upang mapahintulutan ang heat-sink na mas mahusay na mahigpit ang hawak sa plastik. Inilagay namin ang M3 heat-sinks sa mga butas at itinulak ito gamit ang dulo ng isang soldering iron. Natutunaw ng init ang plastik, pinapasok ang mga ngipin. Siguraduhin na ang mga ito ay mapula sa ibabaw at napunta sa patayo. Sa kabuuan mayroong 8 mga spot para sa mga sinulid na insert: 4 para sa takip at 4 upang mai-mount ang Arduino Uno.

Upang mapadali ang pag-mount ng yunit ng tiyempo, nag-embed kami ng mga magnet sa kahon, na ginagawang madali upang matanggal kung kinakailangan ng mga pagbabago. Kailangang i-orient ng mga magnet ang parehong direksyon bago itulak sa lugar.s

Hakbang 10: Paglalakip sa Mga Limit switch

Ang tatlong mga switch ng limitasyon ay nakakabit sa isang gilid ng yunit ng tiyempo na nakaharap sa ilalim ng mga landas. Sa gayon habang ang mga bola ay nag-click sa mga switch ay maaaring matukoy kung aling bola ang unang naabot at ipakita ang tiyempo sa isang LCD display. Maghinang sa maliliit na piraso ng kawad sa mga terminal at i-secure ang mga ito sa mga puwang na may isang dab ng kola ng CA dahil hindi nila dapat paluwagin pagkatapos ng patuloy na katok.

Hakbang 11: LCD Display

Ang takip ng yunit ng tiyempo ay may isang hugis-parihaba na ginupit para sa lcd screen at isang butas para sa pindutang "magsimula". Sinigurado namin ang display gamit ang mga dab ng mainit na pandikit hanggang sa mapula ito sa ibabaw ng takip at naayos ang pulang pindutan kasama ang mounting nut nito.

Hakbang 12: Mga kable ng Electronics

Ang mga kable ay binubuo ng pagkonekta ng iba't ibang mga bahagi sa mga tamang pin sa Arduino. Sundin ang diagram ng mga kable na nakakabit sa itaas upang mai-set up ang kahon.

Hakbang 13: Pag-upload ng Code

Ang Arduino code para sa proyekto ng brachistochrone ay maaaring matagpuan na nakakabit sa ibaba. Mayroong dalawang mga bukana sa kompartimento ng electronics para sa madaling pag-access sa port ng programa ng Arduino at para sa power jack.

Ang pulang pindutan na nakakabit sa tuktok ng kahon ay ginagamit upang simulan ang timer. Kapag ang marmol ay pinagsama ang mga curve at pinalitaw ang mga switch ng limitasyon, na inilagay sa ilalim, ang mga oras ay sunud-sunod na naitala. Matapos ma-hit ang lahat ng tatlong bola, ipinapakita ng LCD screen ang mga resulta, nakahanay sa kani-kanilang mga kurba (mga larawan na nakakabit sa itaas). Kapag napansin mo ang mga resulta kung sakaling kinakailangan ng pangalawang pagbasa, pindutin lamang muli ang pangunahing pindutan upang i-refresh ang timer at ulitin ang parehong proseso.

Hakbang 14: Ang Mga Gabay sa Pag-print ng 3d

Ang mga gabay na naka-print na 3d ay may 3mm materyal na batayan bago magsimula ang mga sumusuporta sa dingding. Samakatuwid kapag ang mga panel ng acrylic ay ilalagay sa lugar ay magkakaroon ng isang puwang sa pagitan ng panel at ng kahoy na frame, na nagpapababa ng pagiging matatag ng landas.

Samakatuwid ang gabay na kinakailangan upang ma-embed ng 3mm sa kahoy. Dahil wala kaming router, dinala namin ito sa isang lokal na pagawaan at nakumpleto ito sa isang milling machine. Matapos ang kaunting pag-sanding ang mga kopya ay magkakasama at mai-secure namin ito sa mga kahoy na turnilyo mula sa gilid. Nakalakip sa itaas ay isang template para sa paglalagay ng 6 na mga gabay sa kahoy na frame.

Hakbang 15: Pagdaragdag ng Stopper at Timing Unit

Dahil ang module ng tiyempo ay isang magkakahiwalay na system napagpasyahan naming gumawa ng isang mabilis na pag-mount at paghiwalay ng system sa pamamagitan ng paggamit ng mga magnet. Sa ganitong paraan madali ang programa ay maaaring ilabas lamang ang yunit. Sa halip na gumawa ng isang template upang ilipat ang posisyon ng mga magnet na kailangang mai-embed sa kahoy hinayaan lang namin silang kumonekta sa mga nasa kahon at pagkatapos ay maglagay ng kaunting pandikit at inilagay ang kahon sa piraso ng kahoy. Ang mga marka ng pandikit ay inilipat sa kahoy na nagpapahintulot sa amin na mabilis na mag-drill ng mga butas sa mga tumpak na lugar. Panghuli ilakip ang 3d naka-print na stopper at ang yunit ng tiyempo ay dapat magkasya nang mahigpit pa upang maalis ang isang bahagyang paghila

Hakbang 16: Ang Mekanismo ng Paglabas

Ang mekanismo ng paglabas ay prangka. Gumamit ng isang nut at bolt upang mahigpit na ikonekta ang seksyon ng C sa pivot arm, gawin silang isang ligtas na piraso. Pagkatapos ay mag-drill ng dalawang butas sa gitna ng patayong kahoy at ilakip ang bundok. I-slip ang isang pivoting shaft at kumpleto ang mekanismo.

Hakbang 17: Ang Eksperimento

Ngayon na ang modelo ay handa na ang isa ay maaaring gawin ang mga sumusunod na eksperimento

Eksperimento 1

Maingat na dumulas sa mga panel ng acrylic ng tuwid na landas, ang kurba ng brachistochrone, at ang matarik na landas (sa pagkakasunud-sunod na ito para sa pinakamahusay na epekto). Pagkatapos ay hilahin ang aldaba at ilagay ang tatlong bola sa tuktok ng curve na tinitiyak na perpektong nakahanay sa bawat isa. Mahigpit na hawakan ang mga ito sa lugar na may aldilya. Gawin ang isang mag-aaral na palabasin ang mga bola at isa pa ang pindutin ang pulang pindutan upang simulan ang sistema ng tiyempo. Panghuli obserbahan ang mga bola gumulong sa landas at pag-aralan ang mga resulta na ipinakita sa module ng tiyempo. Ang pagse-set up ng isang camera upang mairekord ang mabagal na footage ng paggalaw ay mas kapanapanabik na nakikita ng isa ang frame ng lahi ayon sa frame.

Eksperimento 2

Tulad ng nakaraang eksperimento na slide sa mga acrylic panel ngunit sa oras na ito ang lahat ng mga landas ay kailangang maging brachistonchrone curve. Maingat na tanungin ang isang mag-aaral na hawakan ang tatlong bola sa iba't ibang mga pagtaas sa oras na ito at itulak ang pulang pindutan habang ang mga bola ay pinakawalan. Panoorin ang kamangha-manghang sandali habang ang mga bola ay perpektong nakahanay bago ang linya ng tapusin at kumpirmahin ang mga obserbasyon sa mga resulta.

Hakbang 18: Konklusyon

Ang paggawa ng modelo ng brachistochrone ay isang hands-on na paraan upang makita ang mga mahiwagang paraan kung saan gumaganap ang agham. Hindi lamang masaya ang mga eksperimento na panoorin at makatawag pansin ngunit nag-aalok din ito ng isang pagbubuo ng mga aspeto ng pag-aaral. Habang pangunahin ang isang proyekto na inilaan para sa mga mag-aaral sa high school, kapwa praktikal at teoretikal, ang demonstrasyong ito ay madaling maunawaan ng mga mas batang bata at maaaring ipakita bilang isang pinasimple na pagtatanghal.

Nais naming hikayatin ang mga tao na gumawa ng mga bagay, maging isang tagumpay o pagkabigo, dahil sa pagtatapos ng araw ay laging masaya ang STEM! Maligayang paggawa!

Bumaba ba ng isang boto sa paligsahan sa silid-aralan kung gusto mo ang mga itinuturo at iwanan ang iyong puna sa seksyon ng komento.

Grand Prize sa Classroom Science Contest